Een voorbeeld voor het vinden van een moeilijk bewijs: P \/ ¬ P

We willen "uit het niets", d.w.z. zonder aannames, P \/ NOT P bewijzen. Neem papier en pen of start Jape en werk de volgende stappen begrijpend door. Het heeft geen zin, de uitleg hieronder te lezen zonder tegelijk het bewijs op te schrijven.

1. LET OP! Men heeft de neiding, met \/-I te beginnen, ten slotte komt in de formule een \/ voor. Maar dat zou in dit geval een verkeerde afslag zijn. P noch NOT P zijn altijd onwaar, daarom mogen we in het bewijs niet op één concentreren en de andere weglaten. We moeten de stelling in zijn geheel blijven bewijzen.
2. De eerste stap is in zo'n geval vaak NOT-E*: we nemen aan dat NOT(P \/ NOT P) geldt en proberen daaruit een tegenspraak te construeren.
3. Nu moeten we een creatieve keuze maken voor de phi uit de NOT-E*-regel. We mogen invullen wat we willen, bijvoorbeeld A=>B, maar als we een tegenspraak willen construeren, vullen we beter iets in wat met de formule te maken heeft waaruit we de tegenspraak willen construeren. Bijvoorbeeld P. Of juist NOT P. Of de oorspronkelijke formule P \/ NOT P. Of iets nog ingewikkelders. Hier helpt alleen puzzelen, en als we al puzzelen, beginnen we liever eenvoudig.
4. In een college hadden we P ingevuld, maar daarmee kwamen we na een tijd niet verder. We proberen dus NOT P. Dat betekent dat we nu uit NOT(P \/ NOT P) twee dingen moeten bewijzen: enerzijds NOT P en anderzijds NOT NOT P.
5. In beide gevallen begint de te bewijzen formule met een NOT, en in beide gevallen kunnen we de NOT-I-regel toepassen: om te bewijzen dat iets niet het geval is, nemen we aan dat het wel het geval is en construeren daaruit een tegenspraak.
6. Leidt NOT(P \/ NOT P) samen met P tot een tegenspraak? Ja: Als P waar is, dan ook "P of iets anders", bv. P \/ NOT P. En dat hebben we nu juist als onwaar aangenomen! We vullen dus P \/ NOT P in.
7. Het enige wat we in deze tak nu nog moeten bewijzen is dat P \/ NOT P uit onze aannames volgt. We hebben P, dus lukt dat met \/-I(L).
8. De tweede tak loopt volgens hetzelfde stramien.